La utilización de la probabilidad se remonta al siglo XVI, y las primeras aplicaciones se relacionan principalmente con los juegos de azar; actualmente, es ampliamente utilizada por los gobiernos, empresas, organizaciones profesionales en la toma de decisiones en sus actividades y en el desarrollo de estrategias.
Los datos que se utilizan en estadística son obtenidos al observar sucesos no controlados en la naturaleza, o bien bajo condiciones controladas en los laboratorios a lo que llamamos experimento. Es decir, experimento es cualquier suceso que se desea investigar y que al analizarlo se obtienen resultados, los cuales llamamos observaciones de ese experimento. (S. Monroy)
Algunos conceptos a tener muy claros en probabilidad son:
Conjunto: Grupo de objetos o elementos con características comunes bien definidas.
Espacio de resultados o espacio muestral: es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento.
Suceso o resultado aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.
Evento: es el resultado o suceso de un experimento y la colección de esos eventos simples integran el espacio muestral.
Evento compuesto: es el que contiene dos o más eventos simples.
Evento simple: es el resultado más básico, sin ningún otro elemento.
Probabilidad: es una medida que señala que tan viable es que se presente un determinado evento.
El espacio muestral, es representado por la letra “S” y un ejemplo es: el lanzamiento de un dado de seis caras y obtener el número 5 es un resultado o resultado o suceso; el espacio muestral o espacio de resultados de ese experimento sería el total de conjuntos que se pueden obtener:
S= {1,2,3,4,5,6}
En este ejemplo cada resultado es llamado evento, y el conjunto de ellos, son los eventos posibles de este experimento.
Para el caso del ejemplo del dado tenemos:
Evento A: se obtiene un número impar.
Evento B: se obtiene un número menor que cuatro
Evento E1 se obtiene el número 1
Evento E2 se obtiene el número 2
Evento E3 se obtiene el número 3
Evento E4 se obtiene el número 4
Evento E5 se obtiene el número 5
Evento E6 se obtiene el número 6
El evento A ocurrirá si los eventos E1, E3 o E5 ocurren y pueden verse como una serie de eventos simples, al igual “B” ocurrirá si E1, E2, o E3 ocurren. A los eventos A y B se les llama eventos compuestos y a los eventos E1. . . . . E6 se les llama eventos simples.
Determinar el espacio muestral de lanzar tres monedas
C= a obtener cara y X= a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:
S={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
PROBABILIDAD CLÁSICA
La Probabilidad clásica es la que se utiliza en situaciones donde los eventos tienen resultados igualmente probables, y la definimos como el número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento. Se calcula aplicando la siguiente fórmula:
P (cada resultado) = 1
Número de resultados posibles
Ejemplos:
De un mazo de 52 cartas, la probabilidad de sacar cualquier carta es
P (cada carta) = 1/52
La probabilidad de sacar una canica cualquiera de una urna que contiene 20 canicas es:
P (una canica) = 1/20
También se puede aplicar a eventos que comprenden dos o más resultados bajo la siguiente fórmula:
P ( A ) = Número de resultados favorables
Número total de resultados
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de sacar una de las cuatro reinas de un mazo de 52 cartas?
P (reinas) =4 reinas / 52 cartas= 0.0769 x 100= 7.69%
Una empresa de seguros, estudió las causas de las muertes accidentales en los hogares y compiló un archivo que incluía 350 de las cuales 160 muertes fueron caídas, 120 por envenenamiento y 70 por quemaduras.
Si se escoge aleatoriamente una de estas muertes, calcule la probabilidad de que se haya debido a envenenamiento.
P (envenenamiento) = No. muertes por veneno / No. total de muertes = 120/350= 0.343 = 34.3%
Existe la probabilidad de 34.3% seleccionar una persona cuya causa de muerte haya sido por envenenamiento.
Determine la probabilidad de que un matrimonio con tres hijos tenga exactamente dos niños. Suponga que teóricamente es igualmente probable que nazca niño o una niña, y que el género de cualquiera no influye en el género de otro hijo:
Resultados: primero hay que determinar el espacio muestral.
Nacimientos
| ||
Primero
|
Segundo
|
Tercero
|
Niño
|
Niño
|
Niño
|
Niño
|
Niño
|
Niña
|
Niño
|
Niña
|
Niño
|
Niño
|
Niña
|
Niña
|
Niña
|
Niño
|
Niño
|
Niña
|
Niño
|
Niña
|
Niña
|
Niña
|
Niño
|
Niña
|
Niña
|
Niña
|
De los ocho posibles resultados, tres corresponden a exactamente dos niños, así que la probabilidad en ese caso es:
P (2 niños en 3 intentos) = 3/8=0.375 = 37.5%
Hay una probabilidad de 37.5%deque en un matrimonio con tres hijos exactamente dos de ellos sean niños.
Al estimar probabilidades con enfoque de frecuencia relativa, obtendremos una aproximación, no un valor exacto. A medida que aumenta el número total de observaciones, las aproximaciones correspondientes tienden a acercarse a la probabilidad real.
Esta propiedad se expresa mediante el teorema de la ley de los grandes números que dice, “A medida que un experimento se repite una y otra vez, la probabilidad calculada por frecuencia relativa de un evento tiende a acercarse a la probabilidad real”.
En la actualidad no es necesario realizar un experimento para obtener los datos de muestreo. En muchos casos se dispone de información histórica, la cual se utiliza para efectos de probabilidad. En este caso la probabilidad tiene un enfoque empírico (datos históricos o frecuencia relativa)
Ejemplo:
Determinar la probabilidad de que una persona sea alcanzada por un rayo en este año.
El espacio de muestra consiste en estos dos sucesos simples. La persona seleccionada sea alcanzada por un rayo o no. para este caso nos apoyamos de datos históricos.
En EUA, en un año reciente, 371 personas fueron alcanzadas por un rayo. En una población de 260 millones la probabilidad de ser alcanzado por un rayo es:
P (un rayo)= 371/260 000 000= 0.00000142 = 0.000142%
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
En probabilidad clásica, es necesario conocer el número total de resultados posibles de una muestra o experimento, cuando este es pequeño, no existen mayores complicaciones al determinar el espacio muestral, sin embargo hay ocasiones en que este proceso resulta bastante complicado si no se cuenta con un técnica de conteo.
Ejemplo:
Un estudiante presenta un examen de 20 preguntas que se responden con el criterio de verdadero o falso. Suponga también que está adivinando todas las preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que resuelva correctamente el examen? En este caso primero hay que conocer el espacio muestral. Si fuera una sola pregunta, el resultado sería V o F, si fueran dos preguntas los resultados serían VV, VF, FV, FF, si fueran tres los resultados los podemos ejemplificar en un diagrama de árbol:
REGLA DE CONTEO 1: Si cualquiera de K eventos, mutuamente excluyentes pueden ocurrir en cada una de las n pruebas, el número de posibles resultados es:
Kn
Donde k= posibles resultados y n= número de lanzamientos o veces que se repite el experimento
Ejemplo: si una moneda tiene dos lados y se lanza 10 veces el número de resultados posibles es:
Kn= 210 = 1024
Si se tira en dos ocasiones un dado de seis caras el número de resultados es
Kn= 62 = 36
El examen con dos opciones de respuesta (F o V) de 20 preguntas, el número de resultados es:
Kn= 220 = 1,048,576
REGLA DE CONTEO 2: Si existen k1 eventos en la primera prueba, k2 eventos en la segunda prueba, …y kn eventos en la prueba n, entonces el número de resultados posibles se define como el producto de las diferentes opciones:
(k1) (k2)…(kn)
Ejemplo: en un restaurant se ofrece el siguiente menú:
Primer tiempo: sopa o consomé (dos opciones)
Segundo tiempo: jamón, pollo o pescado (tres opciones)
Tercer tiempo: pastel, flan o flauta (tres opciones)
(k1) (k2)…(kn)= (2)(3)(3)= 18
REGLA DE CONTEO 3: Esta regla expresa el cálculo del número de diferentes formas en que se puede ordenar un grupo de objetos. El número de formas en que se pueden ordenar todos los n objetos es:
n!= n(n-1)(n-2),….
Donde n!, se lee n factorial y 0! Se define como 1
Ejemplo: se va a colocar en un estante un conjunto de seis libros de texto, ¿Cómo se puede determinar el número de formas diferentes en que se pueden colocar los seis libros?
Se puede comenzar colocando un primer libro cualquiera y hay cinco que se puede escoger cual ocupará el segundo lugar y así continuar. Aplicando la fórmula tenemos:
n!= 6!= (6) (5) (4) (3) (2) (1)= 720
En muchos casos se necesita conocer el número de formas en las que se puede colocar en orden un subconjunto de todo el grupo de objetos. Cada posible arreglo se conoce como permutación, y esto da origen a la siguiente regla:
REGLA DE CONTEO 4: Permutaciones de n elementos tomados de x en x: El número de formas de ordenar x objetos seleccionados de n objetos, se calcula utilizando la siguiente fórmula:
nPx = Pnx = n!_
(n - x)!
Ejemplo: Se tienen seis libros de texto, pero solamente hay lugar para cuatro en el librero, ¿De cuántas formas se pueden colocar estos libros en el librero?
nPx = Pnx = n!_ = P64 = 6! =6! = (6)(5)(4)(3)(2) = 360
(n - x)! (6-4)! 2! 2
REGLA DE CONTEO 5: Combinaciones: el número de formas de seleccionar x objetos de n objetos, sin tomar en cuenta el orden, se calcula utilizando la siguiente fórmula:
nCx=Cnx = = n!__
x x! (n-x)!
Si retomamos el ejemplo de los libros, el número de combinaciones de los libros seleccionados de entre seis libros es:
nCx=Cnx = = n!__ C64 = 6! = (6)(5)4! = 120! = 15
x x! (n-x)! 4!(6-4)! 4!(2!) 8
Seleccionar tres colores de los cuatro existentes
Rojo = R
Azul = A
Verde = V
Anaranjado = A
Permutaciones
|
Combinaciones
|
nPx = Pnx = n!_
(n - x)!
|
nCx=Cnx = = n!__
x x! (n-x)!
|
nPx = P43 = 4!_ =(4)(3)2! = 24
(4 - 3)! 1!
|
nCx=Cnx = = 4!_ = (4)3! 12 = 4
3 3! (4-3)! (3!)(1!) 3
|
RAV, RVA, AVR, ARV, VAR, VRA
RAN, RNA, ANR, ARN, NAR, NRA
RVN, RNV, VNR, VRN, NVR, NRV
AVN, ANV, VNA, VAN, NVA, NAV
|
RAV
RAN
RVN
AVN
|
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra, dado que ya se tuvo la ocurrencia de otro.
Este tipo de probabilidad se calcula mediante la siguiente fórmula:
P (B / A) = P (A y B)
P (A)
La probabilidad condicional de B, dado que A es la probabilidad de que el suceso B ocurra, dado que el suceso A, ya ocurrió.
Relación entre delincuencia y víctima
Homicidio
|
Robo
|
Agresión
|
Totales
| |
Extraño
|
12
|
379
|
727
|
1118
|
Conocido o pariente
|
39
|
106
|
642
|
787
|
No se sabe
|
18
|
20
|
57
|
95
|
69
|
505
|
1426
|
2000
|
a).- Si se escoge aleatoriamente una persona ¿Qué probabilidad hay de que haya sido víctima de un extraño, dado que se escogió a una víctima de robo?
P= (extraño y robo)= P(extraño y robo) = 379/2000 = 0.1895 = 0.750
P(robo) 505/2000 0.2525
b).- Dado que se escogió a una víctima de agresión, ¿Qué probabilidad hay de que el delincuente sea un extraño?
P= (extraño y agresión0 = P (extraño y agresión) = 727/2000 = 0.3635 = 0.510
P (agresión) 1426/2000 0.713
TEOREMAS DE PROBABILIDAD CONDICIONAL
TEOREMA ADITIVO.
TEOREMA COMPLEMENTARIO.
TEOREMA MULTIPLICATIVO.
TEOREMA ADITIVO:
El teorema aditivo es útil para determinar la probabilidad de que cualquiera de dos eventos, o ambos ocurran y se da por la siguiente formula.
P(AÈB)= P(A) + P(B) – P(AÇB)
Supongamos que en el experimento de lanzar un dado, se enuncian los siguientes dos eventos:
A= íQue se observe un número par.ý
B= íQue se observe un número menor a tresý
Este teorema aditivo es válido cuando se tienen dos eventos que no so mutuamente excluyentes como lo es el caso 1, sin embargo en el caso 2 no existe intersección, por lo que en el caso que dos eventos sean mutuamente excluyente se tienen bajo la siguiente expresión:
P(AÈB)= P(A) + P(B)
TEOREMA COMPLEMENTARIO:
Este teorema se basa en el hecho de que algunas veces es difícil encontrar la probabilidad de un evento y es más fácil calcular la probabilidad de su complemento, lo que se determina:
P(E)= 1-(P)
TEOREMA MULTIPLICATIVO:
Este teorema se utiliza en el cálculo de probabilidades de eventos independientes y dependientes. Este teorema expresa que para poder determinar P (AyB), se calcula la probabilidad de que el suceso A ocurra en u primer ensayo y el suceso B ocurra en un segundo ensayo.
Ejemplo:
Un productor agrícola está preocupado por dos eventos importantes,
A: íQue el cultivo sea rentableý
B: íQue se presente una sequiaý
Basado en la información disponible el productor considera que se tiene una probabilidad de 0.01 de que la producción sea rentable, asumiendo que una sequía ocurrirá en la época de cultivo. Además, se conjetura que se tiene una probabilidad de 0.05 para que se presente una sequía en la época de cultivo: esto es:
P(A/B)= 0.01 P(B)= 0.05
Con esta información, el productor se puede hacer la siguiente pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que se presente una severa sequía y que se tengan utilidades? Es decir P (AÇB).
La fórmula para la probabilidad condicional de un evento, dada la ocurrencia de otro es:
P(A/B)= P(AÇB)
P(B)
Al multiplicar ambos lados por P(B) y despejar se llega a la determinación del teorema multiplicativo:
P(AÇB).= P(A/B) P(B)= P(B/A) P(A)
Por lo que se tendrá que la probabilidad de que una sequía ocurra y que la producción agrícola sea redituable sería únicamente de 0.005
